Modulo 1. Introducción al cálculo en dos variables.
Matemáticas II
Universidad de Guadalajara
Centro Universitario de los Lagos
Sede San Juan
Andrea Paredes Padilla
211482309
Administración
Miguel Ángel Cadena Pérez
Objetivo General:
El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y
procedimientos para la solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático,
de la sistematización de información y de las formas de representación gráfica y analítica.
Manejará los conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos
establecidos en los programas, tanto básicos como auxiliares para abordar los
contenidos de otras materias. Elaborará y usará modelos matemáticos en la
resolución de problemas de optimización de recursos y en el análisis económico de
problemas en el ámbito de las empresas.
Modulo 1. Introducción al cálculo en dos variables.
Objetivo:
El alumno comprenderá los conceptos básicos del cálculo diferencial en varias variables, así como la resolución de problemas en el entorno económico-administrativo, enfatizando aquellos del área de optimización de recursos.
1.1 Funciones en dos variables.
Una función de
dos variables es
una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de
números reales (x, y) un y sólo un
número real z.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la
regla de correspondencia dá un número real se llama
dominio de la
función. El conjunto de valoresz que corresponden a los pares ordenados se llama
imagen o
contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente
con la notación
z = f (x,
y)
Las variables x, y se llaman variables
independientes, y z se llama variable
dependiente.
La gráfica de una función de dos variables
es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y,
z) en donde (x, y) está en el
dominio de f y z = f (x,
y).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el
espacio tridimensional
En consecuencia, la grafica de una función
f de dos variables es una superficie que consta
de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas
cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de
números reales (x, y, z). Como el dominio de
f es un conjunto de puntos del plano x, y,
y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de
f corresponde a solo un valor de
z, ninguna recta perpendicular al plano x,y puede
intersectar a la grafica de f en mas de un
punto.
Se llaman
derivadas parciales de segundo orden de
la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas
parciales de primer orden.
Se usan las siguientes notaciones:
;
;
(se empieza derivando por la variable que está más cerca
de la función)
Si las derivadas parciales son continuas, entonces las
derivadas cruzadas son iguales.
Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden
y de órdenes superiores.
Si las derivadas parciales son continuas entonces no
dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive
respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el
cálculo puede resultar más complicado en un orden que en
otro).
Se llama diferencial de segundo orden de una
función a la diferencial de su diferencial total:
Análogamente se define la diferencial de tercer
orden.
Se siguen unas reglas parecidas a las
potencias:
EJEMPLO:Halla las derivadas parciales de tercer orden de la función:
Solución:
Hallamos las derivadas parciales de primer
orden:
;
Hallamos las derivadas parciales de
segundo orden:
Salvador Vera Ballesteros. (2000). CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1. 2015, de andrea Sitio web: http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3_3.html
1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.
Cálculo de máximos y mínimos usando derivadas. De la derivada primera
obtenemos el crecimiento y decrecimiento de una función y los posibles máximos y mínimos.
Función polinómica
Observa los pasos y las aplicaciones de las derivadas para
calcular el crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos de una
función polinómica.
vadenumeros.es. (2014). Derivadas máximos y mínimos, crecimiento y decrecimiento. 2015, de andrea Sitio web: http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm
1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.
Función de costo:
Una función
costo especifica el costo C como una función de la
cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es
el costo de x artículos, y tiene la forma
Costo
= Costo variable + Costo fijo
en
la que el costo variable es una función de x y el costo fijo
es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
Se
llama una función costo lineal; el costo variable es mx y
el cost fijo es b. La pendiente m, el costo
marginal, mide el costo incremental por artículo.
*Función de ingreso:
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales
es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es
el ingreso por vender x artículos al precio de m cada
uno, entonces I es la función linealI(x) = mx y
el precio de venta m se puede también llamar ingreso
marginal.
*Función de utilidad:
La utilidad es
el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de
restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de
artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad
marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la
siguiente formula:
Utilidad
=
Ingreso − Costo
U
=
I − C
Si
la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de
$500 en este caso). El equilibrio,salir a la par o salir
tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta
forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o
I = C
Equilibrio
El puno
equilibrio es el número de artículos x a lo cual
presenta el equilibrio.
Nestor Andres Zuñiga Garnica. (2014). Matemáticas II. 2015, de andrea Sitio web: http://direccionmatematica.blogspot.mx/2014/11/introduccion-al-calculo-en-dos-variables.html
En este primer módulo vimos lo que
eran las derivadas de dos o más variables ycuáles eran sus máximos y mínimos.
Aprendí como hacer las derivadas
parciales y de orden superior para lo cual tienes que entender o saber resolver
primero la derivada parcial para poder realizar las de orden superior pues lo
único que cambia es que se agrega un procedimiento más a la otra.
Son sencillas cuando comenzamos a
saber realizarlas solo es de prestar atención en ver que letra es la que vas a
eliminar de derivada en la que estés, y para saber si estás bien en las dos
derivadas de X y Y te tiene que dar el mismo resultado.
Jagdish C. Arya. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. cuarta edición. México: PEARSON EDUCACION.
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